Cho điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A, B là các tiếp điểm). Dựng đường kính AD của (O), H là giao điểm của đoạn thẳng AB và MO, tia DH cắt (O) tại điểm E khác D.

a) Chứng minh 4 điểm \[A,M,B,O\]cùng thuộc 1 đường tròn.

Vì \[MA,MB\]lần lượt là 2 tiếp của của đường tròn \[\left( O \right)\](với\[A,B\] là tiếp điểm).

Nên \[MA \bot OA,MB \bot OB \Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ ;\widehat {MBO} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MAO;\Delta MBO\] là những tam giác vuông

Xét \[\Delta MAO\] vuông tại \[A\], suy ra: \[M;A;O\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Xét \[\Delta MBO\] vuông tại \[B\], suy ra: \[M;B;O\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MO\].

Suy ra 4 điểm \[A,M,B,O\]cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Tia \[AE\]cắt đường thẳng \[BD\]tại điểm \[T\]. Chứng minh \[\widehat {THB} = \widehat {TDA}\]và \[MTBH\]là hình chữ nhật.

Kéo dài \[TH\]cắt \[AD\]tại \[K\].

Ta có: \[\widehat {AED} = \widehat {ABD} = 90^\circ \]. Suy ra \[AB,DE\]lần lượt là đường cao của tam giác \[ATD\]

Suy ra: \[TH \bot AD \Rightarrow AK \bot AD \Rightarrow \widehat {AKT} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {AHK} = \widehat {ADB}\] (cùng phụ \[\widehat {HAK}\])

Mà \[\widehat {AHK} = \widehat {THB}\] (2 góc đối đỉnh)

Suy ra: \[\widehat {THB} = \widehat {ADB}\] hay \[\widehat {THB} = \widehat {TDA}\].

Ta có: \[\widehat {BTH} = \widehat {BAD}\] (Cùng phụ \[\widehat {BDA}\])

Lại có: \[\widehat {BMH} = \widehat {BAD}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[OB\])

Suy ra: \[\widehat {BMH} = \widehat {BTH}\]

Mà \[\widehat {BMH} + \widehat {MBH} = 90^\circ \]; \[\widehat {BTH} + \widehat {THB} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {THB} = \widehat {MBH}\]

Suy ra: \[\Delta THB = \Delta MBH\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow MH = TB\]

Mà \[MH//TB\] (cùng \[ \bot AB\])

Suy ra tứ giác \[MTBH\] là hình bình hành.

Mà \[\widehat {MBH} = 90^\circ  \Rightarrow \]Tứ giác \[MTBH\]là hình chữ nhật.

c) Tia \[BE\]cắt tia \[DA\]tại điểm \[P\]. Chứng minh 3 điểm \[P,M,T\]thẳng hàng.

Gọi \[I\]là giao điểm của \[MB\]và \[TH\].

Vì tứ giác \[MTBH\]là hình chữ nhật nên \[I\]là trung điểm của \[MB\]và \[TH\].

Ta có: \[\Delta TEH\]vuông tại \[E\], \[EI\]là đường trung tuyến.

Suy ra \[EI = \frac{1}{2}TH \Rightarrow EI = \frac{1}{2}MB \Rightarrow \Delta MEB\]vuông tại \[E\]

\[ \Rightarrow \widehat {MEB} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {MEP} = 90^\circ \]

Ta có: \[\widehat {MEP} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MEP\]vuông tại \[E \Rightarrow M,E,P\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MP\].

Ta có: \[\widehat {MAP} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta MAP\]vuông tại \[E \Rightarrow M,A,P\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MP\].

Suy ra 4 điểm \[E,M,A,P\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[MP\].

Suy ra: \[\widehat {MPE} = \widehat {MAE}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung \[ME\]) (1)

Ta có: \[\widehat {ADE} = \widehat {MAE}\] (cùng phụ \[\widehat {EAD}\])

Mà \[\widehat {ADE} = \widehat {ABE}\] (Góc nội tiếp cùng chắn cung \[AE\])

Suy ra: \[\widehat {ABE} = \widehat {MAE}\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat {MPE} = \widehat {ABE}\]

Mà 2 góc ở vị trí so le trong \[ \Rightarrow MP//AB\]

Lại có: \[MT//HB\] ( Do \[MTBH\]là hình chữ nhật) hay \[MT//AB\]

Do đó 3 điểm \[P,M,T\]thẳng hàng.