Cho điểm M nằm ngoài đường tròn ( O; R ) sao cho OM = 2R. Từ M 

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O)

⇒ MA ⊥ OA ⇒ MAO^ = 90°

⇒ MB ⊥ OB ⇒ MBO^  = 90°

MAO^+MBO^= 90° + 90° = 180°

⇒ OAMB là tứ giác nội tiếp

⇒ O, A, B, M cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)

b) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) kẻ từ M 

⇒ M cách đều A, B mà O cách đều A, B

⇒ MO là trung trực của AB

⇒ MO ⊥ AB tại H , H là trung điểm AB

Tam giác OAM vuông tại A có đường cao AH

Suy ra: OA² = OH.OM

⇒ OH = R22R=R2

⇒ OHOM=R22R=14

c) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác MAO vuông có: MA² = MH.MO (1)

MA là tiếp tuyến nên: MAE^=MCA^ (cùng chắn cung AE)

Xét ∆MAE và ∆MCA có: MAE^=MCA^

AMC^ chung

Suy ra: ∆MAE ~ ∆MCA (g.g)

⇒ MAME=MCMA hay MA² = MC.ME (2)

Từ (1) và (2): MC.ME = MH.MO

⇒ MHME=MCMO

Xét ∆MHE và ∆MCO có:

OMC^ chung

MHME=MCMO

⇒ ∆MHE ~ ∆MCO (c.g.c)

⇒ MHE^=MOC^

⇒ 180° – MHE^ = 180° – MOC^ hay HEC^=AOM^

Lại có: BEAC là tứ giác nội tiếp (O) do 4 điểm đều nằm trên đường tròn nên BEC^=BAC^ (cùng nhìn cạnh BC)

Lại có theo phần a: OBMA là tứ giác nội tiếp nên OMB^=BAO^; ABO^=OMA^

Suy ra: BEC^=OMB^

Lại có: ABO^=OMB^ (Cùng phụ với MBA^)

Mà ABO^=OMA^

Suy ra:  BEC^=OMA^

HEB^=HEC^+BEC^=AOM^+OMA^

= 90°

Vậy HE vuông góc với BE.