Cho điểm K nằm trong tam giác ABC

a. Ta có:

KB < KM + MB

⇒ KA + KB < KA + (KM + MB) = KA + KM + MB = MA + MB

MA < AC + CM

⇒ MA + MB < AC + CM + MB = AC + BC 

⇒ KA + KB < MA + MB < CA + CB

b. Gọi BK ∩ AC = D 

Ta có: BD < BA + AD 

⇒ DB + DC < BA + AD + DC = AB + AC

KC < KD + DC

⇒ KC + KB < KD + DC + KB = DB + DC

⇒ KC + KB < DB + DC < AB + AC

c. Tương tự chứng minh được KA + KC < BA + BC

⇒ (KA + KB) + (KB + KC) + (KC + KA) < (CA + CB) + (AB + AC) + (BA + BC)

⇒ 2(KA + KB + KC) < 2(AB + BC + CA)

⇒ KA + KB + KC < AB + BC + CA