Cho điểm K nằm trong tam giác A B C . Gọi M là giao điểm của tia A K với cạnh B C , N là giao điểm của tia B K với A C , P là giao điểm của tia C K với A B .
14/20
Cho điểm \(K\) nằm trong tam giác \(ABC\). Gọi \(M\) là giao điểm của tia \(AK\) với cạnh \(BC\), \(N\) là giao điểm của tia \(BK\) với \(AC\), \(P\) là giao điểm của tia \(CK\) với \(AB\).
Khi đó:
\(KA + KB < MA + MB\).
\(MA + MB < CA + CB.\)
\(KB + KC < AB + AC\).
\(KA + KB + KC = {P_{ABC}}\) (với \({P_{ABC}}\) là chu vi tam giác \(ABC\))
a) Đúng.
Xét \(\Delta ABK\), có: \(AB < AK + BK\).
Xét \(\Delta MBK\), có: \(BK < KM + BM\).
Xét \(\Delta ABM,\) có: \(AB < AM + BM\).
Do đó, ta có: \(AB < AK + BK < AK + KM + BM = AM + BM\).
Vậy \(KA + KB < MA + MB\).
b) Đúng.
Xét \(\Delta ABC,\) có: \(AB < AC + BC\).
Xét \(\Delta AMC,\) có: \(AM < MC + AC\).
Do đó, ta có: \(AB < AM + BM < MC + AC + BM = AC + BC\).
Vậy \(MA + MB < CA + CB.\)
c) Đúng.
Theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, ta chứng minh được:
\(BC < KB + KC < KB + KN + NC < BN + NC < AB + AN + NC < AB + AC\).
Do đó \(KB + KC < AB + AC\).
d) Sai.
Tương tự, ta chứng minh được \(KA + KC < BA + BC\). (1)
Từ đó, ta có: \(KB + KC < AB + AC\); (2)
\(KA + KB < MA + MB\); (3)
Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có: \[2\left( {KA + KB + KC} \right) < 2\left( {AC + BA + BC} \right)\].
Do đó \[KA + KB + KC < AC + BA + BC\] hay \(KA + KB + KC < {P_{ABC}}\).