Cho điểm A(3; 2) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhất, với O là gốc tọa độ.

Điểm \(B\) thuộc trục hoành nên có tọa độ \(B\left( {t;0} \right)\) với \(t > 3\).

Đường thẳng \(BC\) đi qua hai điểm \(B\left( {t;0} \right)\) và \(A\left( {3;2} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BA} = \left( {3 - t;2} \right)\). Vectơ pháp tuyến tương ứng là \(\vec n = \left( {2;t - 3} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\): \(2\left( {x - t} \right) + \left( {t - 3} \right)\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + \left( {t - 3} \right)y - 2t = 0\).

Tìm tọa độ giao điểm \(C\) với trục tung (\(x = 0\)): Thay vào phương trình đường thẳng ta có

\(\left( {t - 3} \right)y = 2t \Rightarrow y = \frac{{2t}}{{t - 3}} \Rightarrow C\left( {0;\frac{{2t}}{{t - 3}}} \right)\).

Diện tích tam giác vuông \(OBC\) tại gốc tọa độ \(O\): \(S = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{{2t}}{{t - 3}} = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\).

Khảo sát hàm số diện tích \(S\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{{t - 3}}\) trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\):

\(S'\left( t \right) = \frac{{2t\left( {t - 3} \right) - {t^2}}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{t^2} - 6t}}{{{{\left( {t - 3} \right)}^2}}}\);

Cho \(S'\left( t \right) = 0 \Rightarrow {t^2} - 6t = 0 \Rightarrow t = 6\) (vì điều kiện \(t > 3\)).

Lập bảng biến thiên, từ đó suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm \(t = 6\).

Đáp số: 6.