Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình (S):(x-5)^2+(y+3)^2+(z-7)^2=72

21/21

Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình (S):(x−5)2+(y+3)2+(z−7)2=72 và điểm B(1;1;−9). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A tiếp xúc với (S) sao cho khoảng cách từ B đến (P) là lớn nhất. Giả sử n→=1;m;n là véctơ pháp tuyến của (P). Lúc đó:

mn=27649

mn=−27649

mn=4

mn=−4

Giải thích

(S) có tâm I(5;−3;7) và bán kính R=62

Theo đề bài ta có phương trình (P) có dạng x+m(y−8)+n(z−2)=0

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên

d(I,(P))=5+m(−3−8)+n(7−2)1+m2+n2=5−11m+5n1+m2+n2=62

⇔5−11m+5n=62.1+m2+n2⇔25+121m2+25n2−110m+50n−110mn=72(1+m2+n2)⇔49m2−110m+50n−110mn−47n2−47=0⇔49m2−110m(n+1)−47n2+50n−47=0(1)=3025(n+1)2−49(−47n2+50n−47)=5328n2+3600n+5328>0

Phương trình (*) luôn có nghiệm

d(B,(P))=1+m(1−8)+n(−9−2)1+m2+n2=1−7m−11n1+m2+n2=>d(B,(P))max=AB⇔1−7m−11n1+m2+n2=319⇔1+m2+n2=1−7m−11n319

Mặt khác 5−11m+5n62=1+m2+n2

1−7m−11n319=5−11m+5n62

72(1+49m2+121n2−14m−22n+154mn)=171(25+121m2+25n2−110m+50n−110mn)⇔8(1+49m2+121n2−14m−22n+154mn)=19(25+121m2+25n2−110m+50n−110mn)⇔−1907m2+493n2+1978m−1126n+3322mn−467=0(2)

Từ (1) và (2) ⇒m.n=27649
Đáp án cần chọn là: A