Hướng dẫn giải

(1,5 điểm) Cho Δ A B C có A B = A C . Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng B C . Trên tia đối của tia K A , lấy điểm H sao cho K H = K A . a) Chứng minh rằng Δ A K C = Δ A K B . b) Chứng minh A C ∥ H B . c) Từ K kẻ K M ⊥ A C ( M ∈ A C ) ; K N ⊥ B H ( N ∈ B H ) . Chứng minh rằng ba điểm M , K , N thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta AKC\) và \(\Delta AKB,\) có:

\(AB = AC\) (gt)

\(BK = KC\)(gt)

\(AK\) chung

Do đó, \(\Delta AKC = \Delta AKB\) (c.c.c)

b) Vì \(\Delta AKC = \Delta AKB\) (cmt) nên \(\widehat {ABK} = \widehat {ACK}\) (hai góc tương ứng) và \(\widehat {AKB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta AKB\) và \(\Delta HKB\), có:

\(BK\) chung

\(AH = HK\)

\(\widehat {AKB} = \widehat {BKH} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta AKB = \Delta HKB\) (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {ABK} = \widehat {HBK}\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(\widehat {ABK} = \widehat {ACK}\) nên \(\widehat {HBK} = \widehat {ACK}\).

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên \(BH\parallel AC\).

c) Xét \(\Delta NKH\) và \(\Delta MKA\), có:

\(AK = KH\) (gt)

\(\widehat {KNH} = \widehat {KMA} = 90^\circ \)

\(\widehat {NHK} = \widehat {KAM}\) (so le trong)

Do đó, \(\Delta NKH = \Delta MKA\) (cgv – gn)

Suy ra \(\widehat {NKH} = \widehat {AKM}\) (hai góc tương ứng)

Lại có, \(\widehat {NKH} + \widehat {NKA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {NKA} + \widehat {AKM} = 180^\circ \) hay \(\widehat {NKM} = 180^\circ \).

Vậy ba điểm \(N,K,M\) thẳng hàng.

Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d . Số đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng d là