Cho điểm A ( 0 ; 1 ) , đường thẳng d đi qua điểm ( 0 ; − 1 ) và song song với trục Ox . Tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ sao cho khoảng cách từ M đến A bằng khoảng cách từ

30/32

Cho điểm $A\left( {0;1} \right)$, đường thẳng $d$ đi qua điểm $\left( {0; - 1} \right)$ và song song với trục $Ox$. Tập hợp các điểm $M$ trên mặt phẳng tọa độ sao cho khoảng cách từ $M$ đến $A$ bằng khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ là

Parobol $y = \frac{1}{2}{x^2}$.

Đường thẳng $y = \frac{1}{4}x$.

Đường thẳng $y = \frac{1}{2}x$.

Parabol $y = \frac{1}{4}{x^2}$.

Giải thích

Chọn D

$Thay $y = 4$vào $y = 2{x^2}$ta đ (ảnh 1)$

Gọi tọa độ của điểm $M$ là $\left( {x;y} \right)$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $\left( {0; - 1} \right)$ và song song với trục $Ox$có dạng $\left( d \right):y + 1 = 0$.

Khoảng cách từ $M$ đến $A$ là $MA = \sqrt {{{\left( {0 - x} \right)}^2} + {{\left( {1 - y} \right)}^2}} $$ = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} $

Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ là $\frac{{\left| {y + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = \left| {y + 1} \right|$

Để khoảng cách từ $M$ đến $A$ bằng khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ thì $\sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \left| {y + 1} \right|$$ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {y + 1} \right)^2}$$ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2y + 1 = {y^2} + 2y + 1$$ \Leftrightarrow 4y = {x^2}$$ \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}{x^2}$.

Vậy tập hợp các điểm $M$là một parabol có phương trình $y = \frac{1}{4}{x^2}$.