Cho Delta MNP, E là trung điểm của MN, qua \[E\] kẻ đường thẳng song song với NP cắt MP tại F

a) Xét \[\Delta MNP\] có \[E\] là trung điểm của \[MN;{\rm{ }}EF\,{\rm{//}}\,NP\] (gt) nên \[EF\] là đường trung bình của \[\Delta MNP.\]

b) Do \[EF\] là đường trung bình của \[\Delta MNP\] (câu a) nên \[F\] là trung điểm \[MP.\]

Xét tứ giác \[MIPK\] có: \[F\] là trung điểm của \[MP,\,\,IK\] nên tứ giác \[MIPK\] là hình bình hành.

c) Ta có \[MI\] là tia phân giác của góc \(\widehat {NMP}\) nên \(\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{MN}}{{MP}}\) (1)

Mà \[MN = 2EN\] (do \[E\] là trung điểm \[MN\] (gt)) (2)

       \[MP = 2FP\] (do \[F\] là trung điểm \[MP\] (cmt)) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac{{IN}}{{IP}} = \frac{{EN}}{{FP}}\) hay \[IN \cdot FP = IP \cdot EN.\]