Cho $\Delta ABC$có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Các đường cao

24/25

Cho $\Delta ABC$có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Các đường cao $AD,\,BF,CE$của $\Delta ABC$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh tứ giác $BEHD$ nội tiếp một đường tròn.

b) Kéo dài $AD$cắt đường tròn $\left( O \right)$tại điểm thứ hai $K$. Kéo dài $KE$cắt đường tròn $\left( O \right)$tại điểm thứ hai $I$. Gọi $N$là giao điểm của $CI$và $EF$. Chứng minh $C{E^2} = CN.CI$.

c) Kẻ $OM$ vuông góc với $BC$ tại $M$. Gọi $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$. Chứng minh ba điểm $M,\,N,\,P$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho $\Delta ABC$có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Các đường cao (ảnh 1)$

a)Chỉ ra được $\widehat {BEH} = {90^{\rm{o}}}$

Chỉ ra được $\widehat {BDH} = {90^{\rm{o}}}$

Suy ra tứ giác $BEHD$ có $\widehat {BEH}\, + \widehat {BDH}\, = {180^{\rm{o}}}$ và $\widehat {BEH}$, $\widehat {BDH}$ là hai góc ở vị trí đối diện nhau

Kết luận tứ giác $BEHD$ nội tiếp được trong một đường tròn.

b)Ta có $\widehat {CIK} = \widehat {CAK}$ (cùng bằng )

Chỉ ra tứ giác $AEHF$ nội tiếp (Tổng hai góc đối bằng $180^\circ $) $ \Rightarrow \widehat {FAH} = \widehat {FEH}$.

Suy ra $\widehat {CIE} = \widehat {NEC}$

Chỉ ra hai tam giác $CIE$ và $CEN$ đồng dạng theo trường hợp góc – góc

$ \Rightarrow \frac{{CE}}{{CN}} = \frac{{CI}}{{CE}} \Rightarrow C{E^2} = CN.CI$ (đpcm)

Chỉ ra $P$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$.

Chỉ ra $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BEFC$.

Mà hai tứ giác $AEHF$và $BEFC$có hai điểm chung là $EF$nên $PM$đi qua trung điểm của $EF\,\left( 1 \right)$

Gọi $Q$ là hình chiếu của $E$ trên $AC$. Xét $\Delta EAC$vuông tại $E$, có $EQ$ là đường cao nên $C{E^2} = CQ.CA$

Theo b) ta có $C{E^2} = CN.CI$ nên $CN.CI = CQ.CA \Rightarrow \frac{{CN}}{{CQ}} = \frac{{CA}}{{CI}}$

Suy ra hai tam giác $CNQ;\,CAI$ đồng dạng (chung góc $C$ và tỉ số bằng nhau)

$ \Rightarrow \widehat {CQN} = \widehat {CIA}$. Mà $\widehat {CIA} = \widehat {CBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung ) $ \Rightarrow \widehat {CQN} = \widehat {CBA}$

Do tứ giác $BEFC$nội tiếp nên $\widehat {QFN} = \widehat {EBC}$ (Cùng bù với góc $\widehat {CFE}$)

Suy ra $\widehat {CQN} = \widehat {FQN} = \widehat {QFN} \Rightarrow NQ = NF$

Chỉ ra $\widehat {NQE} = \widehat {QEN}$ (Tương ứng phụ với hai góc bằng nhau $\widehat {FQN};\,\widehat {QFN}$) $ \Rightarrow NQ = NE$

Do đó $NE = NF$hay $N$ là trung điểm của $EF\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$suy ra ba điểm $M,\,N,\,P$ thẳng hàng.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Bắc Giang có đáp án

Cho \(\Delta ABC\)có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường cao