Cho Delta ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Từ (H) kẻ các đường thẳng vuông góc

10/11

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$,kẻ đường cao $AH$. Từ $H$ kẻ các đường thẳng vuông góc với $AB,\,\,AC$ lần lượt tại $D$và $E$.

a) Chứng minh rằng tứ giác$ADHE$ là hình chữ nhật.

b) Tìm điều kiện của$\Delta ABC$ để tứ giác$ADHE$ là hình vuông.

c)Giả sử $AB < AC$. Trên cạnh $AC$lấy điểm $M$sao cho$AM = AB$, gọi$N$ là trung điểm của$BM$. Chứng minh rằng$HN$ là tia phân giác của$\widehat {AHC}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, kẻ đường cao $AH$. Từ $H$ kẻ các đường thẳng vuông góc (ảnh 1)$

a) Xét tứ giác $ADHE$ có $\widehat A = 90^\circ $; $\widehat D = 90^\circ $ (vì \[HD\] vuông góc với \[AB\]).

$\widehat E = 90^\circ $ (vì \[HE\] vuông góc với \[AC\])

Suy ra tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết).

b) Theo câu a tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật $ADHE$ là hình vuông thì $AH$ là tia phân giác của $\widehat {DAE}$.

Hay $AH$ là đường phân giác của $\Delta ABC$ mà $AH$ là đường cao của $\Delta ABC$.

Nên $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân tại \[A\].

Vậy $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân tại \[A\] thì $ADHE$ là hình vuông.

c) Kẻ $MK \bot BC$ tại \[K\]; $MI \bot AH$ tại \[I\].

Ta có$AN = KN$ (vì chúng là đường trung tuyến ứng với cùng một cạnh huyền của hai tam giác vuông).

Khi đó $\Delta ABH = \Delta MAI$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AH = MI$ (hai cạnh tương ứng)

Tứ giác $MIHMK$ là hình chữ nhật suy ra $MI = HK$ hay $AH = KH$.

Từ đó chứng minh được $\Delta AHN = \Delta KHN$ (c.c.c).

Suy ra $\widehat {AHN} = \widehat {KHN}$(hai góc tương ứng)

Do đó $HN$là tia phân giác của $\widehat {AHC}$.