Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5{\rm{ cm}}$, $AC = 12{\rm{ cm}}$ và đường cao

19/20

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5{\rm{ cm}}$, $AC = 12{\rm{ cm}}$ và đường cao $AH$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,AC$.

a) Tính độ dài cạnh $BC.$

b) Chứng minh và $A{B^2} = BH.BC$.

c) Chứng minh $\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

$Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 5{\rm{ cm}}$, $AC = 12{\rm{ cm}}$ và đường cao (ảnh 1)$

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $\Delta ABC$, ta có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

${5^2} + {12^2} = B{C^2}$

$B{C^2} = 169$

Suy ra $BC = 13{\rm{ cm}}$.

b) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có: $\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ $ (gt) và $\widehat {ABC} = \widehat {ABH}$ (góc chung)

Suy ra (g.g)

Do đó, $\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}$ hay $A{B^2} = BH.BC$ (đpcm)

c) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có: $\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ $ (gt) và $\widehat {ACB} = \widehat {ACH}$ (góc chung)

Suy ra (g.g)

Suy ra $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}$ hay $A{C^2} = HC.BC$.

Khi đó, $\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH.BC}}{{HC.BC}} = \frac{{HB}}{{HC}}$ (*)

Ta có $M$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$ nên $HM \bot AB$ (1).

Ta có tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC \bot AB$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $HM\parallel AC$.

Suy ra $\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{MB}}{{MA}}$ (**)

Thay (**) vào (*) ta được: $\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}$ (đpcm)

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 5{\rm{ cm}}\), \(AC = 12{\rm{ cm}}\) và đường cao