Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = a$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$.

8/11

$\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EF} $.

ĐúngSai

${S_{\Delta BEF}} = \frac{{{a^2}}}{8}$.

ĐúngSai

$\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

ĐúngSai

$\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = - \frac{1}{{\sqrt 5 }}$.

ĐúngSai

Giải thích

$Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB = a$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$. (ảnh 1)$

a)$E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$ nên $EF$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

Suy ra $BC = 2EF$ và $\overrightarrow {BC} $ và $\overrightarrow {EF} $ ngược hướng nên $\overrightarrow {BC} = - 2\overrightarrow {EF} $.

b) ${S_{\Delta BEF}} = \frac{1}{2}{S_{\Delta ABE}} = \frac{1}{4}{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot {a^2} = \frac{1}{8}{a^2}$.

c) ${\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {AB} ^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + 4{\overrightarrow {AC} ^2} = \frac{1}{4}{a^2} + 4{a^2} = \frac{{17{a^2}}}{4}$.

Suy ra $\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}$.

d) Ta có $\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} $; $\overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} $.

Khi đó \[\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)\]$ = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} $

$ = - \frac{1}{2}{a^2} - \frac{1}{2}{a^2} = - {a^2}$.

Có $\left| {\overrightarrow {BE} } \right| = \left| {\overrightarrow {CF} } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$.

Khi đó $\cos \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {CF} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {CF} }}{{\left| {\overrightarrow {BE} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CF} } \right|}} = \frac{{ - {a^2}}}{{\frac{{5{a^2}}}{4}}} = - \frac{4}{5}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Đề kiểm tra Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án (Đề 2)

Cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) có \(AB = a\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB\).