Cho Delta ABC, M là trung điểm của AB, qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N

a) Xét \(\Delta ABC\) có: \[M\] là trung điểm của \[AB;{\rm{ }}MN\,{\rm{//}}\,BC\] (gt) nên \[MN\] là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

b) Do \[MN\] là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (câu a) nên \[N\]là trung điểm \[AC.\]

Xét tứ giác \[AICK\] có: \[N\] là trung điểm \[AC,\,\,IK\] nên \[AICK\] là hình bình hành.

c) Ta có \[AI\] là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (1)

Mà \[AB = 2MB\] (do \(M\) là trung điểm \[AB\] (gt)) (2)

      \[AC = 2NC\] (do \(N\) là trung điểm \[AC\] (cmt)) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{MB}}{{NC}}\) hay \[IB \cdot NC = IC \cdot MB.\]