Cho Delta ABC cân tại A, trung tuyến AM ;I là trung điểm AC. Gọi N là điểm đối xứng của M qua I.

a) Do \[N\] là điểm đối xứng của \[M\] qua \[I\] nên \(I\) là trung điểm của \(MN.\)

Xét tứ giác \(AMCN\) có \(I\) là trung điểm của hai đường chéo \(AC,MN\) nên \(AMCN\) là hình bình hành.

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM\) nên \(AM\) là đường cao của tam giác hay \(\widehat {AMC} = 90^\circ \)

Hình bình hành \(AMCN\) có \(\widehat {AMC} = 90^\circ \) nên \(AMCN\) là hình chữ nhật.

b) Do \(AMCN\) là hình chữ nhật nên \(AN\,{\rm{//}}\,MC\) và \(AN = MC.\)

Lại có \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC\)

Do đó \(AN = MB\,\,\left( { = MC} \right)\)

Xét tứ giác \(ANMB\) có \(AN\,{\rm{//}}\,MB\) (do \(AN\,{\rm{//}}\,MC)\) và \(AN = MB\) nên \(ANMB\) là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo \[AM,BN\] cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Lại có \(E\) là trung điểm của \(AM\) nên \(E\) cũng là trung điểm của \(BN\).

c) Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\)

Lại có \(K,I\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AC\) nên \(AK = BK = \frac{1}{2}AB\) và \(AI = CI = \frac{1}{2}AC\)

Do đó \(AK = AI\,\,\,\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(ANCM\) là hình chữ nhật nên \(AC = MN\) và \(I\) là trung điểm của \(AC,MN\)

Suy ra \(AI = MI\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(AK = MI = AI\)

Ta có: \(ANMB\) là hình bình hành nên \(AB\,{\rm{//}}\,MN\) hay \(AK\,{\rm{//}}\,MI\)

Tứ giác \(AKMI\) có \(AK = MI\) và \(AK\,{\rm{//}}\,MI\) nên \(AKMI\) là hình bình hành

Lại có \(AK = AI\) nên \(AKMI\) là hình thoi

Để \(AKMI\) là hình vuông thì cần thêm điều kiện \(\widehat {KAI} = 90^\circ \), khi đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

Vậy để \(AKMI\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).

Thật vậy, khi tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) ta dễ dàng chứng minh được \(AKMI\) là hình thoi có \(\widehat {KAI} = 90^\circ \) nên là hình vuông.