Cho ΔDEF vuông tại D cóDE<DF, đường caoDH. Từ H kẻ HM⊥DE(M∈DE). KẻHN⊥DF(N∈DF). Gọi I là trung điểm của HF. Tia MH cắt tia DI tại K. (a) Tứ giác DMHNlà hình gì? Vì sao?

12/13

Cho \[\Delta DEF\] vuông tại \(D\) có\(DE < DF\), đường cao\(DH\). Từ \(H\) kẻ \(HM \bot DE\,\,\left( {M \in DE} \right)\). Kẻ\(HN \bot DF\,\,\left( {N \in DF} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của HF. Tia \[MH\] cắt tia \[DI\] tại \[K.\]

(a) Tứ giác \(DMHN\)là hình gì? Vì sao?

(b) Chứng minh tứ giác \(DHKF\) là hình bình hành.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho ΔDEF vuông tại D cóDE<DF, đường caoDH. Từ H kẻ HM⊥DE(M∈DE). KẻHN⊥DF(N∈DF). Gọi I là trung điểm của HF. Tia MH cắt tia DI tại K. (a) Tứ giác DMHNlà hình gì? Vì sao? (ảnh 1)

a) Tứ giác \(DMHN\) có:

• \(\widehat {MDN} = 90^\circ \) (do \(\Delta DEF\) vuông tại \(D\))

• \(\widehat {DMH} = 90^\circ \) (do \(MH \bot DE\))

• \(\widehat {HND} = 90^\circ \) (do \(HN \bot DF\)).

Do đó, tứ giác \(DMHN\) là hình chữ nhật.

b) Ta có: \(MH \bot DE;\,\,DF \bot DE\) suy ra \(MH\,{\rm{//}}\,DF\) nên \(MK\,{\rm{//}}\,DF\).

Do đó \(\widehat {KHI} = \widehat {DFI}\) (hai góc so le trong)

Xét \[\Delta HIK\] và \[\Delta FID\] có:

\(\widehat {HIK} = \widehat {FID}\) (hai góc đối đỉnh)

\[HI = IF\] (gt)

\(\widehat {KHI} = \widehat {DFI}\) (cmt)

Do đó \[\Delta HIK = \Delta FID\] (g.c.g)

Suy ra \[DI = IK\] (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác \[DHKF\] có \[DI = IK\] (cmt); \[HI = IF\] (gt)

Do đó, tứ giác \[DHKF\] là hình bình hành.

c) Xét tam giác \[DHF\] có \(MN\) cắt \(DH\) tại \(O\), \(FO\) cắt \(DK\) tại \(G\).

Khi đó, \(G\) là trọng tâm của tam giác \[DHF\] suy ra \(DI = \frac{3}{2}DG\) .

Mà \[DK = 2DI\] nên \[DK = 3DG\].