Cho dãy (un) với \({u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Tính S2019 = u1 + u2 + u3 + ... + u2019, ta được kết quả:

Đáp án đúng là: A

\({S_{2019}} = \underbrace {\left[ {\frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + .... + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2019}}} \right]}_A + \underbrace {\left( {1 + 1 + ... + 1} \right)}_{2019\,\,s\^o }\)

Xét dãy số (v_n) với v_n = \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).

Ta có: \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}\) nên (v_n) là một cấp số nhân với v₁ = \(\frac{1}{2}\) và công bội q = \(\frac{1}{2}\).

Áp dụng công thức tổng quát: \({S_n} = {v_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Khi đó \(A = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2019}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}\)

\({S_{2019}} = A + 2019 = \left( {1 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) + 2019 = 2020 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}\).