Cho dãy ( u n ) với u n = ( 1/2 )^n + 1 , ∀ n ∈ N ∗ . Tính S 2023 = u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u 2023 , ta được kết quả

27/39

Cho dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} + 1\], \[\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]. Tính \[{S_{2023}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{2023}}\], ta được kết quả

\[\frac{{4047}}{2}\].

\[2024 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}\].

\[2024 + \frac{1}{{{2^{2023}}}}\].

\[\frac{{6069}}{2}\].

Giải thích

Chọn B

\[\begin{array}{l}{S_{2023}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{2023}}\\ = \left( {\frac{1}{2} + 1} \right) + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 1} \right] + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + 1} \right] + ... + \left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}} + 1} \right]\\ = \left[ {\frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3} + ...{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}}} \right] + 2023.1\\ = S' + 2023\end{array}\]

\(S' = \frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + ...{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2023}}\) là tổng của \(2023\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân với \({u_1} = \frac{1}{2}\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\)

\(S' = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = \left( {\frac{1}{2}} \right)\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2023}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2023}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}\)

Vậy \({S_{2023}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2023}}}} + 2023 = 2024 - \frac{1}{{{2^{2023}}}}\)