Cho dãy tỉ số bằng nhau: x /(y + z + t) = y /(z + t + x) = z /(t + x + y) = t/( x + y + z) . Chứng minh rằng P = (x + y)/( z + t) + (y + z)/( t + x) + (z + t)/( x + y) + (t + x)/( y + z) c

Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{x}{{y + z + t}} = \frac{y}{{z + t + x}} = \frac{z}{{t + x + y}} = \frac{t}{{x + y + z}}\) ta có:

\(\frac{x}{{y + z + t}} + 1 = \frac{y}{{z + t + x}} + 1 = \frac{z}{{t + x + y}} + 1 = \frac{t}{{x + y + z}} + 1\)

Suy ra \(\frac{{x + y + z + t}}{{y + z + t}} = \frac{{y + z + t + x}}{{z + t + x}} = \frac{{z + t + x + y}}{{t + x + y}} = \frac{{t + x + y + z}}{{x + y + z}}\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Trường hợp 1:

Nếu \(x + y + z + t = 0\) thì \(x + y = - z - t\); \(y + z = - t - x\); \(z + t = - x - y\); \(t + x = - y - z\).

Khi đó \[P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\]

               \[ = \frac{{ - z - t}}{{z + t}} + \frac{{ - t - x}}{{t + x}} + \frac{{ - x - y}}{{x + y}} + \frac{{ - y - z}}{{y + z}}\]

               \( = \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 4 \in \mathbb{Z}\).

Trường hợp 2:

Nếu \(x + y + z + t \ne 0\) thì từ \(\left( * \right)\) ta suy ra \(y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z\)

Do đó \(x = y = z = t\).

Khi đó \[P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\]

                \( = \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} + \frac{{x + x}}{{x + x}} = 4 \in \mathbb{Z}\)

Vậy \[P = \frac{{x + y}}{{z + t}} + \frac{{y + z}}{{t + x}} + \frac{{z + t}}{{x + y}} + \frac{{t + x}}{{y + z}}\] có giá trị nguyên.