Cho dãy số (un) xác định bởi {u(1)=2; u(n+1)=u(n)=1/2, (n lớn hơn bằng 1). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

u2=2+12=32=21+121

u3=32+12=54=22+122

u4=54+12=98=23+123

Chứng minh bằng quy nạp: un+1=2n+12n,  ∀n=1;2;...    (∗)

* Với n=1:u2=u1+12=2+12=21+121: (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với n=k≥1 tức là uk=2k+12k ta chứng minh (*) đúng với n=k+1 tức là cần chứng minh uk+1=2k+1+12k+1

Ta có :

uk+1=uk+12=2k+12k+12=2k+1+2k2k2=2.2k+12k+1=2k+1+12k+1

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy (un)là:

un=2n−1+12n−1=1+12n−1,  ∀n=1;2;...    (∗)

Từ (*) ta có un+1−un=1+12n−1+12n−1

=12n−12n+1<0  ∀n=1,2,...⇒unlà dãy giảm và  

limun=lim1+12n−1=1⇒là dãy giảm tới 1 khi n→+∞

Đáp án cần chọn là: A