Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và un = 4un – 1 + 5. Tìm số hạng tổng quát của (Un).

Lời giải:

Đặt U_n = V_n + α

Û4U_{n – 1} + 5 = V_n + α

Û4(V_{n – 1} + α) + 5 = V_n + α

Û V_n = 4V_{n – 1} + 3α + 5

Ta chọn α \( = \frac{{ - 5}}{3}\) để V_n thành cấp số nhân. Suy ra V_n = 4V_{n – 1}.

ÞV_n là cấp số nhân với công bội q = 4 và V₁ = U₁ – α = 3 + \(\frac{5}{3} = \frac{{14}}{3}\).

ÞV_n = V₁. q^{n – 1} \( = \frac{{14}}{3} \cdot {4^{{\rm{n}} - 1}}\)

ÞU_n = V_n + α \( = \frac{{14}}{3} \cdot {4^{{\rm{n}} - 1}} - \frac{5}{3}\).

Vậy U_n \( = \frac{{14}}{3} \cdot {4^{{\rm{n}} - 1}} - \frac{5}{3}\).