Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1 un+1 = un / (2un + 1), với n ∈ N*, n ≥ 1 Tính giá trị của: T = 1/u1 + 1/u2 + 1/u3 + … + 1/u50

18/22

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{2{u_n} + 1}}}\end{array}} \right.\), với \(n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},n \ge 1\). Tính giá trị của \(T = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{50}}}}\).

_____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Nhận xét \({u_n} > 0\) với mọi \(n\). Nghịch đảo hai vế của công thức truy hồi ta được:

\(\frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}} + 2\).

Đặt \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\), ta có \({v_1} = \frac{1}{{{u_1}}} = 1\) và \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2\).

Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = 1\) và công sai \(d = 2\).

Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\) là: \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)2 = 2n - 1\).

Biểu thức \(T\) chính là tổng của 50 số hạng đầu tiên của cấp số cộng \(\left( {{v_n}} \right)\):

\(T = {S_{50}} = \frac{{50 \cdot \left( {{v_1} + {v_{50}}} \right)}}{2} = 25 \cdot \left( {1 + \left( {2 \cdot 50 - 1} \right)} \right) = 25 \cdot \left( {1 + 99} \right) = 25 \cdot 100 = 2500\).

Đáp số: 2500.