Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, un+1 = un/(2un + 1), với n ∈ N*, n ≥ 1. Tính giá trị của biểu thức: T = 1/u1 + 1/u2 + 1/u3 + … + 1/u40.

18/22

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{2{u_n} + 1}}}\end{array}} \right.\), với \(n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 1\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{40}}}}\).

_____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Nghịch đảo hệ thức truy hồi ta thu được: \(\frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{2{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}} + 2\).

Đặt \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\), ta có \({v_1} = 1\) và \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({v_1} = 1,d = 2\).

Tổng cần tìm: \(T = {S_{40}} = \frac{{40}}{2} \cdot \left[ {2 \cdot 1 + 39 \cdot 2} \right] = 20 \cdot 80 = 1600\).

Đáp số: 1600.