Cho dãy số un xác định bởi

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đổi biến, đổi dãy để có tính chất đặc biệt:

Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = u_n^2 + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Chứng minh dãy mới là một cấp số nhân hoặc một cấp số cộng.

Tìm cấp số nhân

Tính tổng n số hạng đầu tiên của dãy

Lời giải

Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = u_n^2 + 1;\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Ta có: \({v_{n + 1}} = u_{n + 1}^2 + 1 = 3u_n^2 + 2 + 1 = 3\left( {u_n^2 + 1} \right) = 3{v_n};\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)

\( \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 + 1 = 2\) và công bội \(q = 3\).

Vậy \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \ldots + u_{2022}^2\)\( = {v_1} - 1 + {v_2} - 1 + {v_3} - 1 + \ldots + {v_{2022}} - 1\)

\( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + \ldots + {v_{2022}} - 2022\)\( = {v_1}.\frac{{{q^{2022}} - 1}}{{q - 1}} - 2022 = 2.\frac{{{3^{2022}} - 1}}{2} - 2022 = {3^{2022}} - 2023\).