Cho dãy số un xác định bởi

7/235

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3},\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}}\end{array}} \right.\). Tìm số nguyên dương \(n\) nhỏ nhất sao cho \(\sqrt {{u_n} - 1} \ge 55\).

\(n = 9\).

\(n = 10\).

\(n = 11\).

\(n = 8\).

Giải thích

Phương pháp giải

Tính chất của dãy số

Lời giải

Ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_2} = {u_1} + {1^3}}\\{{u_3} = {u_2} + {2^3}}\\ \ldots \\{{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3}}\end{array}{\rm{\;}} \Rightarrow {u_n} = 1 + {1^3} + {2^3} + \ldots + {{(n - 1)}^3}} \right.\).

Lại có \({1^3} + {2^3} + \ldots + {(n - 1)^3} = {(1 + 2 + 3 + \ldots + n - 1)^2} = {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}} \right)^2}\)

Suy ra \({u_n} = 1 + {\left( {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}} \right)^2}\).

Theo yêu cầu đề bài ta có.

\(\sqrt {{u_n} - 1} \ge 55 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} \ge 55 \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) \ge 110 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 11}\\{x \le - 10}\end{array}} \right.\).

Mà \(n\) là số nguyên dương nhỏ nhất nên \(n = 11\)