Cho dãy số (un) với un=2n-1/n+1 . Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn.

Ta có:  un=2n−1n+1=2−3n+1

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2

 ⇒−3n+1≥−32

 ⇒2−3n+1≥2−32

 ⇒un≥12

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó  3n+1>0 khi đó u_n < 2.

Suy ra  13≤un<2 nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có:  un+1=2n+1−1n+1+1=2n+1n+2

Xét hiệu:  un+1−un=2n+1n+2−2n−1n+1=2n2+3n+1−2n2−3n+2(n+1)(n+2)=3(n+1)(n+2)>0,∀n∈ℕ*.

Suy ra u_n+1 > u_n nên dãy số (u_n) tăng.

Vậy dãy số (u_n) tăng và bị chặn.