Cho dãy số (un) với un= na+2/n+1 . Tìm các giá trị của a để: a) (un) là dãy số tăng; b) (un) là dãy số giảm.

Ta có:  un+1=n+1a+2n+1+1=n+1a+2n+2 

Xét hiệu:  un+1−un=n+1a+2n+2−na+2n+1=n+1a+2n+1n+2n+1−na+2n+2n+1n+2

 =n2+2n+1a+2n+2n+2n+1−n2+2na+2n+4n+1n+2=a−2n+1n+2

Vì n ∈ ℕ^* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 – u_n > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

b) Để (u_n) là dãy số giảm thì u_n+1 – u_n < 0 nên a – 2 < 0 ⇔ a < 2.