Cho dãy số (un) với un = 2^n/n!

19/25

Cho dãy số (u_n) với \({u_n} = \frac{{{2^n}}}{{n!}}\).

Tất cả các số hạng của dãy số (u_n) đều nhận giá trị dương với mọi n ∈ ℕ^*.

ĐúngSai

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{2}{{n + 1}}\).

ĐúngSai

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1\) đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

ĐúngSai

Dãy số (u_n) là một dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai (n ≥ 2) trở đi.

ĐúngSai

Giải thích

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Lũy thừa số dương và giai thừa luôn dương nên u_n > 0.

b) Đúng. \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot \frac{{n!}}{{{2^n}}} = \frac{{2 \cdot {2^n} \cdot n!}}{{\left( {n + 1} \right) \cdot n! \cdot {2^n}}} = \frac{2}{{n + 1}}\).

c) Sai. Hệ thức \(\frac{2}{{n + 1}} < 1 \Leftrightarrow n + 1 > 2 \Leftrightarrow n > 1\).

Với n = 1 thì thương bằng 1, nên không đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

d) Đúng. Với mọi \(n \ge 2 \Rightarrow n + 1 \ge 3 \Rightarrow \frac{2}{{n + 1}} \le \frac{2}{3} < 1\), do đó dãy số giảm kể từ số hạng thứ hai trở đi.