Cho dãy số Un: u1=2, u (n+1) +4un = 4- 5n

Ta có \({u_{n + 1}} + 4{u_n} = 4 - 5n \Leftrightarrow {u_{n + 1}} =  - 4{u_n} - 5n + 4 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} + n =  - 4\left( {{u_n} + n - 1} \right)\,\,(*)\).

Đặt \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + n\) suy ra \({v_n} = {u_n} + n - 1\), khi đó \((*) \Leftrightarrow {v_{n + 1}} =  - 4{v_n}\)

Do đó \({v_n}\) là cấp số nhân với công bội \(q =  - 4 \Rightarrow {v_n} = {( - 4)^{n - 1}}{v_1}\).

Mà \({v_1} = {u_1} = 2\) nên suy ra \({v_n} = 2\).\({( - 4)^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = 2.{( - 4)^{n - 1}} - n + 1\).

Vậy \(S = {u_{2023}} - 2{u_{2022}} = 2.{( - 4)^{2022}} - 2022 - 2\left[ {2.{{( - 4)}^{2021}} - 2021} \right] = 2020 + {.4^{2023}}\).