Cho dãy số (un) thỏa mãn un = (−i)^n. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là Sn. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

Đáp án

PHÁT BIỂU	ĐÚNG	SAI
u6 là một số thực.	X
S6 là một số thực.		X
Để Sn = 1 thì n phải chia cho 4 dư 1.		X

Phương pháp giải

in bằng 1 nếu n chia hết cho 4.

in bằng i nếu n chia cho 4 dư 1.

in bằng −1 nếu n chia cho 4 dư 2.

in bằng −i nếu n chia cho 4 dư 3.

Lời giải

Ta có: \({{\rm{u}}_6} = {( - {\rm{i}})^6} = {{\rm{i}}^6} = {{\rm{i}}^4}{\rm{.}}{{\rm{i}}^2} = {{\rm{i}}^2} =  - 1\) là một số thực.

⇒Phát biểu 1 đúng.

\({{\rm{S}}_6} = \frac{{1 - {{\rm{q}}^7}}}{{1 - {\rm{q}}}} = \frac{{1 - {{( - {\rm{i}})}^7}}}{{1 - ( - {\rm{i}})}} = {\rm{i}}\) là một số ảo ⇒Phát biểu 2 sai.

\({{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 - {{( - {\rm{i}})}^{{\rm{n}} + 1}}}}{{1 + {\rm{i}}}} = 1 \Leftrightarrow 1 - {( - {\rm{i}})^{{\rm{n}} + 1}} = 1 + {\rm{i}}\)

\({( - {\rm{i}})^{{\rm{n}} + 1}} =  - {\rm{i}} \Leftrightarrow {( - {\rm{i}})^{\rm{n}}} = 1 \Leftrightarrow \) n chia hết cho 4.

⇒Phát biểu 3 sai.