Cho dãy số (un) thỏa mãn u1= 1 và un + 1 = (n + 1)/(n +2) un + 3/(n + 2)

80/235

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}&{}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}{u_n} + \frac{3}{{n + 2}}}&{\forall n \in {\mathbb{N}^*}}\end{array}} \right.\). Số hạng thứ \(2025\) của dãy là

Đáp án: __________

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Giải chi tiết:

\({\rm{Ta c\'o }}{u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}{u_n} + \frac{3}{{n + 2}} \Leftrightarrow (n + 2){u_{n + 1}} = (n + 1){u_n} + 3 \Leftrightarrow [(n + 1) + 1]({u_{n + 1}} - 3) = (n + 1)({u_n} - 3).\)

Đặt\({\rm{ }}{v_n} = (n + 1)({u_n} - 3) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = - 4}\\{{v_{n + 1}} = {v_n}}\end{array}} \right.\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Vậy \({v_{2025}} = {v_1} = - 4.\) Suy ra

\(2026.\left( {{u_{2025}} - 3} \right) = - 4 \Leftrightarrow {u_{2025}} = 3 - \frac{4}{{2026}} = \frac{{3037}}{{1013}}.\)

Đáp án: \(\frac{{3037}}{{1013}}.\)

Đáp án cần điền là: \(\frac{{3037}}{{1013}}.\)