Cho dãy số (un) là cấp số nhân thỏa mãn u4 = 2/27; u3 = 243u8. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Gọi q là công bội của cấp số nhân (u_n).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.\).

Năm số hạng đầu của (u_n) là: \({u_1} = 2;\,\,{u_2} = \frac{2}{3};\,\,{u_3} = \frac{2}{9};\,\,{u_4} = \frac{2}{{27}};\,\,{u_5} = \frac{2}{{81}}\).

b) Đúng. Ta có: u₅ - u₃ = \(\frac{2}{{81}} - \frac{2}{9} = - \frac{{16}}{{81}}\).

c) Sai. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là u_n = u₁q^{n - 1} = \(\frac{2}{{{3^{n - 1}}}}\).

Xét u_n = \(\frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9\).

Vậy số \(\frac{2}{{6561}}\) là số hạng thứ 9 của cấp số nhân (u_n).

d) Sai. Ta có: \({S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2 \cdot \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2,9985 < 3\).

Tổng 9 số hạng đầu của cấp số nhân là số nhỏ hơn 3.