Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 3 và un - u(n - 1) = 2n - 3 với mọi n ≥ 2. Tìm giá trị u1000/10^9.

Áp dụng công thức truy hồi cho các số hạng từ \(2\) đến \(n\):

                                          \({u_2} - {u_1} = 2 \cdot 2 - 3\)

                                          \({u_3} - {u_2} = 2 \cdot 3 - 3\)

                                                            \( \ldots \)

                                           \({u_n} - {u_{n - 1}} = 2n - 3\)

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên, ta được: \({u_n} - {u_1} = \mathop \sum \limits_{k = 2}^n \left( {2k - 3} \right) = 2\mathop \sum \limits_{k = 2}^n k - 3\left( {n - 1} \right)\)

Ta có \(\mathop \sum \limits_{k = 2}^n k = \frac{{\left( {n + 2} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2}\), suy ra: \({u_n} - 3 = \left( {n + 2} \right)\left( {n - 1} \right) - 3\left( {n - 1} \right) = \left( {n - 1} \right)\left( {n + 2 - 3} \right) = {\left( {n - 1} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {u_n} = {\left( {n - 1} \right)^2} + 3 = {n^2} - 2n + 4\).

Thay \(n = 1000\) vào ta tính \({u_{1000}}\) được \({u_{1000}} = {\left( {1000 - 1} \right)^2} + 3 = {999^2} + 3 = 998001 + 3 = 998004\).

Do đó: \(\frac{{{u_{1000}}}}{{109}} = \frac{{998004}}{{109}} = 9156\).

Kết quả:\(9156\).