Cho dãy số (un) được xác định bởi hệ thức truy hồi: u1 = 1; u_(n + 1) = un/(un + 1)

20/25

Cho dãy số (u_n) được xác định bởi hệ thức truy hồi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{{u_n} + 1}}\quad \left( {\forall n \ge 1} \right)}\end{array}} \right.\).

Người ta lập một dãy số mới (v_n) bằng cách nghịch đảo các số hạng của dãy cũ, tức là \({v_n} = \frac{1}{{{u_n}}}\).

Ba số hạng đầu tiên của dãy số cũ là \({u_1} = 1;{u_2} = \frac{1}{2};{u_3} = \frac{1}{3}\).

ĐúngSai

Ba số hạng đầu tiên của dãy số mới là v₁ = 1; v₂ = 2; v₃ = 3.

ĐúngSai

Hiệu v_{n + 1}– v_n = 1.

ĐúngSai

Dãy số mới (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu v₁ = 1 và công sai d = 1.

ĐúngSai

Giải thích

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. \({u_1} = 1 \Rightarrow {u_2} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {u_3} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}\).

b) Đúng. Nghịch đảo các giá trị tương ứng ở ý a: \({v_1} = \frac{1}{1} = 1,{v_2} = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2,{v_3} = \frac{1}{{\frac{1}{3}}} = 3\).

c) Đúng. \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} = 1 + {v_n} \Leftrightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = 1\).

d) Đúng. Vì hiệu v_{n + 1}– v_n = 1 là hằng số cố định nên dãy số mới (v_n) chính xác là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai d = 1.