Cho dãy số un được xác định bởi công thức truy hồi:

30/235

Cho dãy số \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) được xác định bởi công thức truy hồi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 4}\\{{u_{n + 1}} = 3{u_n} - 6n + {2^n} + 3\quad (n \in {\mathbb{N}^*})}\end{array}} \right.\)

Chữ số cuối cùng của \({u_{2024}}\) là bao nhiêu? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Giải chi tiết:

Ta biến đổi công thức truy hồi của dãy số như sau:

\({u_{n + 1}} = 3{u_n} - 6n + {2^n} + 3\)

\( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3(n + 1) + {2^{n + 1}} = 3{u_n} - 9n + 3 \cdot {2^n}\)

\( \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3(n + 1) + {2^{n + 1}} = 3({u_n} - 3n + {2^n})\)

Đặt \({u_n} - 3n + {2^n} = {v_n},\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*},\)ta có

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = {u_1} - 3 \cdot 1 + {2^1} = 4 - 3 + 2 = 3}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}}\end{array}} \right. \Rightarrow {v_n} = {3^n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Khi đó

\({u_n} = {3^n} - {2^n} + 3n,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {u_{2024}} = {3^{2024}} - {2^{2024}} + 3 \cdot 2024\)

Do \({3^{2024}} = {81^{506}}\)có tận cùng là \(1,\) \({2^{2024}} = {16^{506}}\)có tận cùng là \(6\) nên \({u_{2024}} = {81^{506}} - {16^{506}} + 6072\)có tận cùng là \(7.\)

Đáp án: \(7.\)