Cho dãy số Un được xác định bởi công thức truy hồi

Phương pháp giải:

Từ công thức truy hồi, biến đổi để tìm công thức tổng quát của dãy số.

Giải chi tiết:

Ta biến đổi công thức truy hồi:

                                        \[{u_{n + 1}} = 3{u_n} - 6n + {2^n} + 3\]

\[ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3(n + 1) + {2^{n + 1}} = 3{u_n} - 9n + 3 \cdot {2^n}\]

   \[ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3(n + 1) + {2^{n + 1}} = 3({u_n} - 3n + {2^n}).\]

Đặt

                    \[{v_n} = {u_n} - 3n + {2^n}\quad (n \in {\mathbb{N}^*}),\]

khi đó ta có:

          \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = {u_1} - 3 + 2 = 4 - 3 + 2 = 3,}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}.}\end{array}} \right.\]

Suy ra:

                                  \[{v_n} = {3^n}\quad (n \in {\mathbb{N}^*}).\]

Do đó:

                                                \[{u_n} = {3^n} - {2^n} + 3n.\]

Xét \({u_{2024}}\):

                           \[{u_{2024}} = {3^{2024}} - {2^{2024}} + 3 \cdot 2024.\]

Xét chữ số tận cùng:

     \[{3^{2024}} \equiv 1\quad ,\quad {2^{2024}} \equiv 6\quad ,\quad 3 \cdot 2024 = 6072 \equiv 2\quad .\]

Suy ra:

                                    \[{u_{2024}} \equiv 1 - 6 + 2 \equiv 7\quad .\]

Vậy chữ số cuối cùng của \({u_{2024}}\) là \(7\).