Cho dãy số (un) được xác định bởi công thức tổng quát: un = (n^2 + 1)/n!

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. \({u_1} = \frac{{{1^2} + 1}}{{1!}} = 2\); \({u_2} = \frac{{{2^2} + 1}}{{2!}} = \frac{5}{2}\).

b) Đúng. Tử và mẫu đều dương với mọi \(n \ge 1\).

c) Sai. Xét \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot \frac{{n!}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{{n^3} + {n^2} + n + 1}}\).

Với n ≥ 2, ta dễ thấy tử số luôn nhỏ hơn mẫu số nên \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1\).

Đây là dãy số giảm kể từ số hạng thứ 2 trở đi chứ không phải dãy tăng.

d) Đúng. Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi giá trị lớn nhất trong các số hạng (ở đây là u₂ = 2,5). Do đó dãy số bị chặn.