Cho dãy số (un) có u1 = 2 va u(n+1) = 10un - 9n + 1 (n lớn hơn hoặc bằng 1)

1. Gọi vn là dãy số thỏa mãn: un=vn+n  n≥1.

Khi đó, un+1=10un−9n+1⇔vn+1+n+1=10vn+n−9n+1⇔vn+1=10vn

⇒vn là cấp số nhân có số hạng đầu v1=u1−1=1 và công bội q = 10

⇒vn=1.10n−1=10n−1⇒un=10n−1+n

Vậy số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là un=10n−1+n.

2. Ta có uk=100006⇒10k−1+k=100006

⇔10k−1+k=100000+6⇔10k−1+k=105+6⇔k=6.

Vậy số hạng uk=100006 là số hạng thứ 6 của dãy.

3. Ta có

u1=100+1u2=101+2u3=102+3....u100=1099+100

=>  Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

S100=u1+u2+u3+. . . +u100=100+1+101+2+102+3+ . . . +1099+100⇔S100=100+101+102+ . . . +1099+1+2+3+ . . . +100⇔S100=100.10100−110−1+1+100.1002=10100−19+5050

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là S100=10100−19+5050.