Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát un = (n^2 + an + 1)/n (với a là tham số thực).
Giải thích
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{n} + \frac{{an}}{n} + \frac{1}{n} = n + a + \frac{1}{n}\).
b) Đúng. Xét hiệu:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 + a + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + a + \frac{1}{n}} \right) = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{{n(n + 1)}}\).
c) Đúng. Với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n\left( {n + 1} \right) \ge 2 \Rightarrow \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{n(n + 1)}} \ge \frac{1}{2} > 0\).
Hiệu luôn dương và không phụ thuộc vào tham số a (do a bị triệt tiêu).
d) Sai. Theo ý c, hiệu luôn lớn hơn 0 với mọi n nên dãy số luôn luôn là dãy tăng với mọi giá trị của a.