Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Mệnh đề nào sau đây mô t

15/25

Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát \({u_n} = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\). Mệnh đề nào sau đây mô tả đúng nhất về tính bị chặn của dãy số này?

Dãy số chỉ bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{2}\).

Dãy số không bị chặn trên vì khi \(n\) lớn vô hạn thì tổng sẽ lớn vô hạn.

Dãy số bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{2}\) và bị chặn trên bởi 1.

Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi \(\frac{1}{2}\).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}\).

\({u_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\)

Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow 0 < \frac{1}{{n + 1}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1\).

Vậy dãy số bị chặn dưới bởi \(\frac{1}{2}\) và bị chặn trên bởi \(1\).