Cho dãy số (un) có số hạng tổng quát là tổng của các phân thức sau: un=1/1.2 +1/2.3 + 1/3.4 + ... + 1/n(n + 1)

25/25

Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát là tổng của các phân thức sau:

\({u_n} = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}\)

Khi xét hiệu u_{n + 1}– u_n để kiểm tra tính tăng, giảm, ta thu được một phân thức đại số tối giản có dạng \(\frac{1}{{{n^2} + an + b}}\). Tính giá trị của biểu thức P = a + b.

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 3

\({u_{n + 1}} = \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \ldots + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Thực hiện xét hiệu hai số hạng liên tiếp:

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ { \ldots + \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}} \right] - \left[ { \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}} \right]\)\( = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{{{n^2} + 3n + 2}}\)

Suy ra a = 3 và b = 2. Vậy P = 5.