Cho dãy số (un), biết u1 = 3; u_(n + 1) = 4u_n - 1

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Cho dãy số (u_n), biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 1\end{array} \right.\) (với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)). Số hạng thứ năm của dãy số là 683.

Ta có: u₂ = 4u₁ - 1 = 4.3 - 1 = 12 - 1 = 11

u₃ = 4u₂ - 1 = 4.11 - 1 = 43.

u₄ = 4u₃ - 1 = 4.43 - 1 = 171.

u₅ = 4u₄ - 1 = 4.171 - 1 = 683.

Vậy số hạng thứ năm của dãy là 683.

b) Đúng. Ta có: u_n+1 = 4u_n - 1 ⇔ \({u_{n + 1}} - \frac{1}{3} = 4\left( {{u_n} - \frac{1}{3}} \right)\).

Đặt \({v_n} = {u_n} - \frac{1}{3}\). Ta có: v_{n + 1} = 4v_n. Suy ra (v_n) là cấp số nhân

c) Đúng. Ta có: v_{n + 1} = 4v_n. Suy ra (v_n) là cấp số nhân với \(\left\{ \begin{array}{l}q = 4\\{v_1} = {u_1} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\end{array} \right.\)

Suy ra \({v_n} = {v_1}{q^{n - 1}} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} + \frac{1}{3}\)

d) Đúng. \({S_8} = {v_1} \cdot \frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{{1 - {4^8}}}{{1 - 4}} \approx 58253\).