Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} + 5n + 2}}{{{n^2} + 1}}\). Biết rằng dãy số này bị chặn trên và giá trị lớn nhất của dãy số là tại số hạng uk. Tính giá trị của biểu thức P = 2uk.

Đáp án: 9

\({u_n} = \frac{{2({n^2} + 1) + 5n}}{{{n^2} + 1}} = 2 + \frac{{5n}}{{{n^2} + 1}}\).

Ta có n² + 1 ≥ 2n \( \Rightarrow \frac{{5n}}{{{n^2} + 1}} \le \frac{{5n}}{{2n}} = 2,5\).

Suy ra u_n ≤ 2 + 2,5 = 4,5.

Dấu “=” xảy ra khi n = 1 ∈ ℕ^*.

Vậy giá trị lớn nhất của dãy số là u₁ = 4,5.

Do đó P = 9.