Cho dãy số un biết

36/235

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{{u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 2}\end{array}} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

\(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

\(\left( {{u_n}} \right)\) không là dãy tăng, không là dãy giảm.

\({u_5} = 2\)

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tích chất của dãy số.

Lời giải

Ta có \({u_1} < {u_2} < {u_3}\), ta dự đoán dãy số đã cho là dãy số tăng. Ta chứng minh quy nạp.

Theo giả thiết ta thấy \({u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Giả sử \({u_k} > {u_{k - 1}} \ge 2\). Ta chứng minh \({u_{k + 1}} > {u_k}\).

Thật vậy: \({u_{k + 1}} - {u_k} = \frac{1}{3}\left( {{u_k} - {u_{k + 1}}} \right) > 0 \Leftrightarrow {u_{k + 1}} > {u_k}\).

Vậy dãy đã cho là dãy tăng.