Cho dãy số ( u n ) xác định bởi: { u 1 = 2 u n + 1 = 4 u n + 9 ; ∀ n ∈ N ∗ . a) Chứng minh rằng dãy ( v n ) với v n = u n + 3 là một cấp số nhân, tìm công bội và viết số hạng tổng quá

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \({v_n} = {u_n} + 3 \Rightarrow {v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} + 3\)

Xét \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}} + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4{u_n} + 9 + 3}}{{{u_n} + 3}} = \frac{{4\left( {{u_n} + 3} \right)}}{{{u_n} + 3}} = 4 \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội \(q = 4\) và \({v_1} = {u_1} + 3 = 2 + 3 = 5\).

\( \Rightarrow {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {5.4^{n - 1}}\).

Vậy cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) có số hạng tổng quát \({v_n} = {5.4^{n - 1}}\).

b) Gọi \[{T_n}\] là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân \(\left( {{v_n}} \right)\) và \({S_n}\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\). Khi đó \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) và \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}\).

Ta có: \({T_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_1} + 3} \right) + \left( {{u_2} + 3} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3} \right)\)

\( = \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_n}} \right) + 3n = {S_n} + 3n\)

\( \Rightarrow {S_n} = {T_n} - 3n\)

\( \Rightarrow {S_{10}} = {T_{10}} - 3.10 = \frac{{{v_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} - 3.10 = \frac{{5\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} - 30 = 1747595\).

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của \(\left( {{u_n}} \right)\) là 1 747 595.