Cho dãy số ( u n ) xác định bởi { u 1 = 1 u n + 1 = √ 3 u 2 n + 2 ; n ≥ 1 . Tính tổng S = u 2 1 + u 2 2 + u 2 3 + … + u 2 2022 :

Giải chi tiết:

Ta có: \({u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} \)

\( \Rightarrow u_{n + 1}^2 = 3u_n^2 + 2\)

\( \Rightarrow u_{n + 1}^2 + 1 = 3(u_n^2 + 1)\)

Xét dãy số \(({v_n})\)với \({v_n} = u_n^2 + 1\)

\( \Rightarrow ({v_n})\)là cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 + 1 = 2\)và công bội \[q{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\]

Vậy \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + \ldots + u_{2022}^2\)

\( = {v_1} - 1 + {v_2} - 1 + {v_3} - 1 + \ldots + {v_{2022}} - 1\)

\( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + \ldots + {v_{2022}} - 2022\)

\( = {v_1} \cdot \frac{{{q^{2022}} - 1}}{{q - 1}} - 2022 = 2 \cdot \frac{{{3^{2022}} - 1}}{2} - 2022 = {3^{2022}} - 2023.\)

Đáp án cần chọn là: A