Cho dãy số ( u n ) xác định bởi: u 1 = 1/3 và u n + 1 = (n + 1) / 3 n . u n . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Đáp án

Phát biểu	Đúng	Sai
Dãy \(\left( {\frac{{{u_n}}}{n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{3}\), công bội \(q = \frac{1}{3}\).	X
Tổng \(S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} +  \ldots  + \frac{{{u_{10}}}}{{10}} > \frac{1}{2}\)		X

Giải thích

Theo đề ra ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.{u_n} \Leftrightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{1}{3}\frac{{{u_n}}}{n}\) mà \({u_1} = \frac{1}{3}\) hay \(\frac{{{u_1}}}{1} = \frac{1}{3}\)

Nên ta có \(\frac{{{u_2}}}{2} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2};\frac{{{u_3}}}{3} = \frac{1}{3}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3}; \ldots ;\frac{{{u_{10}}}}{{10}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{10}}\).

Hay dãy \(\left( {\frac{{{u_n}}}{n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = \frac{1}{3}\), công bội \(q = \frac{1}{3}\).

Khi đó \(S = {u_1} + \frac{{{u_2}}}{2} + \frac{{{u_3}}}{3} +  \ldots  + \frac{{{u_{10}}}}{{10}} = \frac{{{3^{10}} - 1}}{{{{2.3}^{10}}}} = \frac{{59048}}{{{{2.3}^{10}}}} = \frac{{29524}}{{59049}} < \frac{1}{2}\).