Cho dãy số ( u n ) với u n = (a n + 5)/( n + 1) . Có bao nhiêu số nguyên a trong khoảng ( − 10 ; 10 ) để ( u n ) là dãy tăng?

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

\({u_n} = \frac{{an + 5}}{{n + 1}} = \frac{{a\left( {n + 1} \right) + 5 - a}}{{n + 1}} = a + \frac{{5 - a}}{{n + 1}}\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = a + \frac{{5 - a}}{{n + 2}} - \left( {a + \frac{{5 - a}}{{n + 1}}} \right) = \frac{{5 - a}}{{n + 2}} - \frac{{5 - a}}{{n + 1}} = \frac{{a - 5}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Để \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng thì \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 5 > 0\) (vì \[\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\]) \( \Leftrightarrow a > 5\)

\( \Rightarrow a \in \left\{ {6;7;8;9} \right\} \Rightarrow \) có 4 số thoả mãn đề bài.