Cho dãy số ( u n ) , n ∈ N ∗ , thỏa mãn điều kiện { u1 = 3;un + 1 = − un/ 5 . Gọi S = u 1 + u 2 + u 3 + … + u n là tổng n số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó lim S n bằng

79/100

Cho dãy số \(\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right),\,\,{\rm{n}} \in \mathbb{N}*\), thỏa mãn điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\rm{u}}_1} = 3}\\{{{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}} = - \frac{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}}{5}}\end{array}} \right.\). Gọi \({\rm{S}} = {{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_2} + {{\rm{u}}_3} + \ldots + {{\rm{u}}_{\rm{n}}}\) là tổng \({\rm{n}}\) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. Khi đó \(\lim {{\rm{S}}_{\rm{n}}}\) bằng

\(\frac{1}{2}\).

\(\frac{3}{5}\).

0 .

\(\frac{5}{2}\).

Giải thích

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có \(\frac{{{{\rm{u}}_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}} = \frac{{ - \frac{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}}{5}}}{{{{\rm{u}}_{\rm{n}}}}} = - \frac{1}{5}\) do đó dãy \(\left( {{{\rm{u}}_{\rm{n}}}} \right),\,\,{\rm{n}} \in \mathbb{N}*\) là một cấp số nhân lùi vô hạn có \({{\rm{u}}_1} = 3,\;{\rm{d}} = - \frac{1}{5}\).

Suy ra \(\lim {{\rm{S}}_{\rm{n}}} = \frac{{{{\rm{u}}_1}}}{{1 - {\rm{q}}}} = \frac{3}{{1 + \frac{1}{5}}} = \frac{5}{2}\).

Chọn D