Cho dãy số u_n = (căn bậc hai của (an^2 + 1) − n)/n. Xét tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.           b) Sai.                   c) Đúng.               d) Sai.

Chia tử số cho n, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {a + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right)\).

a) Đúng. Khi a = 1, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\sqrt 1 - 1 = 0\).

b) Sai. Khi a = 4, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = \(\sqrt 4 - 1 = 1\) (không phải 2).

c) Đúng. Để \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \)u_n = 3 thì \(\sqrt a - 1\) = 3 ⇒ \(\sqrt a \) = 4 nên a = 16.

d) Sai. Khi a < 0, biểu thức trong căn an² + 1 sẽ mang giá trị âm khi n đủ lớn, do đó dãy số không xác định.